Электронный каталог НБ БНТУ

Статья

Сербул, М.А.
Доказательство усиленной теоремы о распределении простых чисел = Proof of the strengthened theorem on the distribution of prime numbers / М. А. Сербул, Ю. М. Вувуникян // Веснiк Гродзенскага дзяржаўнага унiверсiтэта iмя Янкi Купалы. Серыя 2. Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне / гал. рэд. I.Ф. Кiтурка; заснавальнiк Гродзенскi дзяржауны унiверсiтэт iмя Я. Купалы. – 2020. – Т.10 №2. – С. 6-15. – На рус. яз.

Цель исследования - доказать усиленную теорему о распределении простых чисел методами теории функций вещественного переменного. Во введении описаны результаты, полученные Адамаром, Валле-Пуссеном и Сельбергом в области распределения простых чисел. Сформулирована усиленная теорема о распределении простых чисел, поставлена задача по ее доказательству. В основной части доказанысвойства сумм вида ∑n≤xf(x)lnkx/n, введены обобщенные пси-функции Чебышёва ψk(x), а также обобщенные функции Сельберга Rk(x) = ψk(x) - ∑n≤xlnkx/n. Далее с применением этих свойств доказана теорема 1 (об оценке модуля интеграла от обобщенной функции Сельберга пятого порядка). Теорема 2 посвящена фундаментальной асимптотической оценке логарифмического интеграла от функцииx Сельберга R(t) = ψ(t) - [t], т.е. интеграла ∫1xR(t)dt/t. Теоремы 1 и 2 применены для доказательства теоремы 3 (об оценке модуля интеграла от частного функции Сельберга и квадратичной функции), т.е. оценки интеграла ∫x1xR(t)/t2dt, с использованием которой доказана теорема 4. Далее выведено неравенство для |R(x2) - R(x1)|, с помощью которого доказано (теорема 5), что существуют интервалы, на которых выполняется достаточно сильная оценка для |R(t)/t|. С помощью теоремы 5 доказана теорема 6, оценивающая интеграл ∫xe^(-δ(x))x|R(t)/t|lnk-1tdt/t. В основной части статьи с помощью теоремы 6, а также интегрального неравенства для функции Rk(x) доказана усиленная теорема о распределении простыхчисел: π(x) = x/lnx + x/ln2x + O(x/lnωx), для любого ω ∈ (2; 5/2). В конце основной части отмечено, что теорему о распределении простых чисел и доказанную в этой статье усиленную теорему можно применять для приближенного вычисления значений функции распределения простых чисел π(x). Через P1(x) обозначена относительная погрешность приближения с помощью теоремы о распределении простых чисел, т.е. приближенного равенства π(x) ≈ x/lnx, а через P2(x) - относительная погрешность приближения с помощью усиленной теоремы, т.е. приближенного равенства π(x) = x/lnx + x/ln2x. Приведена таблица значений относительных погрешностей P1(x) и P2(x) для x = 10n, где n = 3; 4; 5; 6; 7; 8.
The purpose of the study is to prove the strengthened theorem on the distribution of primes by methods of the theory of functions of a real variable. The introduction describes the results obtained by Hadamard, Valle-Poussin and Selberg in the field of distribution of primes. In the main part of the article, it is proved the strengthened prime number theorem: π(x) = x/lnx + x/ln2x + O(x/lnωx) for any ω ∈ (2; 5/2). At the end of the main part, it is noted that the prime distribution theorem and the strengthened theorem proved in this article can be used to approximate the calculation of the values of the prime-counting function π(x). The relative approximation error by the theorem on the distributions of primes is denoted P1(x), i.e. approximate equality π(x) = x/lnx, and P2(x) denote the relative approximation error of using the strengthened theorem, i.e. approximate equality π(x) = x/lnx + x/ln2x. The table of values of relative errors P1(x) and P2(x) for x = 10n, where n = 3; 4; 5; 6; 7; 8 is given.

511.33

общий = БД Наука
общий = АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
общий = ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ
общий = ДИРИХЛЕ ФУНКЦИИ