Электронный каталог НБ БНТУ

Статья

Антоневич, А.Б.
Решения дифференциального уравнения u' + s/x * u = 0 в пространстве распределений = Solutions of a differential equation u' + s/x * u = 0 in the distributions space / А. Б. Антоневич, Е. В. Кузьмина // Веснiк Гродзенскага дзяржаўнага унiверсiтэта iмя Янкi Купалы. Серыя 2. Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка, вылiчальная тэхнiка i кiраванне / гал. рэд. I.Ф. Кiтурка; заснавальнiк Гродзенскi дзяржауны унiверсiтэт iмя Я. Купалы. – 2020. – Т.10 №2. – С. 56-66. – На рус. яз.

В работе рассмотрены решения в пространстве обобщенных функций (распределений) линейного дифференциального уравнения первого порядка, в котором коэффициентом является обобщенная функция, порожденная рациональной функцией s/x, где число s - натуральное. Цель работы заключена в нахождении условий существования обобщенного решения задачи Коши конкретных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с обобщенными коэффициентами и обосновании того, что обобщенное решение существует не для всех рассматриваемых коэффициентов. Во введении отмечена связь использованного подхода с решением проблемы умножения обобщенных функций, заключающимся в построении новых объектов, называемых новыми обобщенными функциями или мнемофункциями, которые сохраняют ряд свойств распределений и допускают корректную операцию умножения. Мнемофункции определяются как классы эквивалентных семейств гладких функций. В основной части дано уточнение постановки задачи, т.е. указано, какое из распределений, соответствующих рассматриваемому коэффициенту, считать коэффициентом в уравнении. Получено формальное решение исследуемого уравнения. Определено понятие обобщенного решения задачи Коши в пространстве распределений при заданном способе аппроксимации коэффициента как предела решений аппроксимирующих уравнений. Далее анализ проводится при аппроксимации обобщенного коэффициента гладкими функциями, порожденной аналитическим представлением. Показано, что сходимость аппроксимирующих решений в пространстве распределений имеет место не для всех рассматриваемых коэффициентов, выделены коэффициенты специального вида, при которых существует обобщенное решение. Полученные результаты связаны с решением проблемы умножения обобщенных функций и могут быть применены в теории дифференциальных уравнений.
The paper considers solutions in the space of generalized functions (distributions) of a linear first-order differential equation in which the coefficient is a generalized function generated by a rational function s/x, where s is a natural number. The aim of the work is to find the conditions for the existence of a generalized solution of the Cauchy problem of specific linear differential equations of the first-order with generalized coefficients and justification that the generalized solution exists only for some of the considered coefficients. The introduction notes the connection between the applied approach and the solution of the problem of multiplication of generalized functions, which consists in constructing new objects called new generalized functions or mnemofunctions that preserve some properties of distributions and allow the correct operation of multiplication. Mnemofunctions are defined as classes of equivalent families of smooth functions. In the main part, the statement of the problem is refined, that is, it is indicated which of the distributions corresponding to the coefficient under consideration is considered the coefficient in the equation. A formal solution of the equation under study has been obtained. The concept of a generalized solution of the Cauchy problem in the space of distributions is defined for a given method of approximating the coefficient as the limit of the solutions of the approximating equations. Further, the analysis is carried out by approximating the generalized coefficient by smooth functions generated by the analytical representation. It is shown that the convergence of the approximating solutions in the space of distributions does not occur for all the considered coefficients, the coefficients of a special form are identified for which there is a generalized solution. The results obtained are related to the solution of the problem of multiplication of generalized functions and can be applied in the theory of differential equations.


общий = БД Наука
общий = ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ (мат.)
общий = ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
общий = ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ